Докази Архімеда формул для площ і обсягів встановлюють стандарт суворої обробки меж до сучасності. Але те, як він виявив ці результати, залишалося загадкою до 1906 р., Коли копія його втраченого трактату «Метод» була виявлена в Константинополі (нині Стамбул, Туреччина).
Виявилося, що Архімед використовував метод, пізніше відомий як принцип Кавалієрі, який передбачає нарізання твердих тіл (обсяги яких слід порівняти) із сімейством паралельних площин. Зокрема, якщо кожна площина сімейства розрізає два твердих тіла на поперечні перерізи однакової площі, тоді ці дві тверді речовини повинні мати однаковий об’єм ( див. Малюнок). Можна твердо вважати сумою таких розділів, які називаються неподільними. Архімед насправді розробляв цей принцип, не лише порівнюючи відповідні розділи за площею, але й “балансуючи” їх за законом важеля.
Ідея нарізки паралельними площинами була переоткрита в Китаї, і простіший доказ того, що об'єм кулі становить дві третини від обсягу її циркулюючого циліндра, використовуючи лише площі, дав Лю Хуей у 263 р. Остаточний доказ ці рядки дав італійський математик Бонавентура Кавалієрі у своїй роботі Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (1635; «Певний метод розвитку нової геометрії безперервних неподільних»). Кавальєрі спостерігав, що відбувається, коли півкуля та її циліндр, що обмежує, розрізані сімейством площин, паралельних основі циліндра: кожна дископодібна ділянка кулі має ту саму площу, що і відповідна кільцева ділянка доповнення конуса в циліндр ( дивмалюнок). Тоді формула обсягу кулі безпосередньо випливає з теореми Евдокса, що об'єм конуса дорівнює третині обсягу його циркулярного циркуля.
