Геометри, що слідували безпосередньо за Піфагором (бл. 580 - бл. 500 р. До н. Е.), Поділяли нерозумну інтуїцію, що будь-які дві довжини є "співмірними" (тобто вимірюваними) цілими кратними деякої загальної одиниці. Іншими словами, вони вважали, що цілих (або підраховуючих) чисел та їх співвідношень (раціональних чисел або дробів) достатньо для опису будь-якої величини. Отже, геометрія легко поєднується з віруванням Піфагора, найголовнішим принципом якого було те, що реальність по суті математична і базується на цілих числах. Особливої актуальності мала маніпуляція з коефіцієнтами, яка спочатку відбувалася відповідно до правил, підтверджених арифметикою. Відкриття відбитків (квадратних коренів чисел, що не є квадратами), отже, підірвало піфагорійців: більше не міг a : b =c : d (де a і b , скажімо, відносно прості) означають, що a = n c або b = n d , де n - деяке ціле число. Згідно з легендою, піфагорійський першовідкривач незмірних величин, відомий нині як ірраціональні числа, був убитий своїми братами. Але в науці важко зберігати таємницю.
У давніх греків не було алгебри чи індуїстсько-арабських цифр. Грецька геометрія базувалася майже виключно на логічних міркуваннях із залученням абстрактних діаграм. Откриття незмірного, отже, більше ніж порушило піфагорійське уявлення про світ; це призвело до глухого кута математичних міркувань - глухого кута, який зберігався до тих пір, поки геометри Платонового часу не ввели визначення пропорції (співвідношення), яке складало несумірне. Основними залученими математиками були афінський Теетет (близько 417–369 рр. До н. Е.), Якому Платон присвятив цілий діалог, і великий Евдокс Кнідський (близько 390 - близько 340 рр. До н. Е.), Чиє ставлення до несумірного вижило як книга V від Евкліда елементів .
Евклід дав наступне просте доказ. Квадрат зі сторонами довжиною 1 одиниця повинен, згідно з теоремою Піфагора, мати діагональ d, яка задовольняє рівняння d 2 = 12 + 12 = 2. Нехай передбачається, згідно з очікуванням Піфагора, що діагональ може бути виражається як відношення двох цілих чисел, скажімо, p і q , і що p і q відносно прості, з p > q - іншими словами, це відношення було зведено до найпростішої форми. Таким чином p 2 / q 2 = 2. Тоді p 2 = 2 q 2, отже pмає бути парним числом, скажімо, 2 р . Вставивши 2 r для p в останнє рівняння та спростивши, ми отримуємо q 2 = 2 r 2, звідки q також повинно бути парним, що суперечить припущенню, що p і q не мають спільного множника, крім одиниці. Отже, жодне відношення цілих чисел, тобто жодне “раціональне число” згідно з грецькою термінологією, не може виражати квадратний корінь із 2. Такі довжини, щоб квадрати, що утворюються на них, не дорівнювали квадратним числам (наприклад, квадратний корінь з , Квадратний корінь з √ 3, Квадратний корінь з √ 5, Квадратний корінь з √ 6, ...) називали “ірраціональними числами”.
