Теорема Піфагора стверджує, що сума квадратів на катетах прямокутного трикутника дорівнює квадрату на гіпотенузі (стороні, протилежній прямому куту) - у звичних алгебраїчних позначеннях a 2 + b 2 = c 2. Вавилоняни і єгиптяни знайшли деякі цілі трійки ( a , b , c ), які задовольняють зв'язок. Піфагор (бл. 580 - бл. 500 р. До н. Е.) Або хтось із його послідовників, можливо, був першим, хто довів теорему, яка носить його ім’я. Евклід (близько 300 р. До н. Е.) Запропонував розумну демонстрацію теореми Піфагора у своїх « Елементах» , відомих як доказ «Вітряка» за формою фігури.
- Намалюйте квадрати на сторонах правої Δ A B C .
- B C H і A C K є прямими лініями, оскільки ∠ A C B = 90 °.
- ∠ E A B = ∠ C A I = 90 °, за конструкцією.
- ∠ B A I = ∠ B A C + ∠ C A I = ∠ B A C + ∠ E A B = ∠ E A C , на 3.
- A C = A I і A B = A E , за побудовою.
- Отже, Δ B A I ≅ Δ E A C , згідно теореми про бічну сторону кута (див. Бічна панель: Міст ослів), як це виділено в частині (а) малюнка.
- Draw З Р , паралельно B D .
- Прямокутник Про Р Е = 2Δ З Е . Цей чудовий результат випливає з двох попередніх теорем: (а) площі всіх трикутників на одній основі, третя вершина яких лежить де-небудь на невизначено розширеній прямій, паралельній основі, рівні; і (b) площа трикутника дорівнює половині площі будь-якого паралелограма (включаючи будь-який прямокутник) з однаковими основою та висотою.
- Квадрат A I H C = 2Δ B A I , за тією ж теоремою про паралелограм, що і на кроці 8.
- Отже, прямокутник A G F E = квадрат A I H C , кроками 6, 8 та 9.
- ∠ D B C = ∠ A B J , як на кроках 3 та 4.
- B C = B J і B D = A B , за побудовою, як на кроці 5.
- Δ C B D ≅ Δ J B A , як на кроці 6 і виділено в частині (b) малюнка.
- Прямокутник B D F G = 2Δ C B D , як на кроці 8.
- Квадрат C K J B = 2Δ J B A , як на кроці 9.
- Отже, прямокутник B D F G = квадрат C K J B , як на кроці 10.
- Квадрат A B D E = прямокутник A G F E + прямокутник B D F G , за побудовою.
- Отже, квадрат A B D E = квадрат A I H C + квадрат C K J B , за кроками 10 і 16.
Перша книга « Елементи Евкліда»починається з визначення точки і закінчується теоремою Піфагора та її зворотом (якщо сума квадратів з двох сторін трикутника дорівнює квадрату з третьої сторони, це повинен бути прямокутний трикутник). Цей шлях від конкретного визначення до абстрактного та універсального математичного твердження було прийнято як символіку розвитку цивілізованого життя. Яскравим прикладом ототожнення міркувань Евкліда з найвищим вираженням думки стала пропозиція німецького фізика та астронома 1821 року розпочати бесіду з жителями Марса, показавши їм наші претензії на інтелектуальну зрілість. Все, що нам потрібно було зробити, щоб привернути їх інтерес і схвалення, - стверджувалося, - було орати і висаджувати великі поля у формі діаграми вітряка або, як пропонували інші,копати канали, що передбачають теорему Піфагора в Сибіру чи Сахарі, залити їх маслом, підпалити і чекати відповіді. Експеримент не випробовувався, залишаючись невизначеним, чи жителі Марса не мають телескопа, геометрії чи існування.
