Металогічний

Металогічне , вивчення та аналіз семантики (відношення між виразами та значеннями) та синтаксису (відношення між виразами) офіційних мов та формальних систем. Це пов’язано, але не включає, офіційне ставлення до природних мов. (Для обговорення синтаксису та семантики природних мов див. Лінгвістику та семантику.)

Природа, походження та вплив металогічного

Синтаксис та семантика

Формальна мова зазвичай вимагає набору правил формування, тобто повної специфікації видів виразів, які враховуються як добре сформовані формули (речення чи значущі вирази), застосовні механічно, в тому сенсі, що машина може перевірити, чи є кандидат задовольняє вимогам. Ця специфікація зазвичай містить три частини: (1) перелік примітивних символів (основних одиниць), поданих механічно, (2) певні комбінації цих символів, виділених механічно як утворення простих (атомних) речень, та (3) набір індуктивні речення - індуктивні, оскільки вони передбачають, що природні поєднання поданих речень утворюються за допомогою таких логічних сполучників, як диз’юнкція “або”, що символізується “∨”; “Ні”, що символізує “∼”; і "для всіх", що символізує "(∀)", - це знову речення. [“(∀)” називається квантором,як і “є дещо”, що символізується “(∃)”.] Оскільки ці специфікації стосуються лише символів та їх поєднань, а не значень, вони включають лише синтаксис мови.

Інтерпретація формальної мови визначається формулюванням інтерпретації атомних речень мови щодо області предметів, тобто шляхом встановлення, які об'єкти області позначаються якими константами мови, а які відносини та функції позначається, які букви-предикати та символи функцій. Таким чином, істинність (будь то «істинною» чи «хибною») кожного речення визначається відповідно до стандартної інтерпретації логічних сполучників. Наприклад, p · q істинно тоді і тільки тоді, коли p і qправдиві. (Тут крапка означає сполучник «і», а не операцію множення «раз».) Таким чином, з огляду на будь-яке тлумачення офіційної мови, отримується офіційне поняття істини. Істина, значення та денотат - це семантичні поняття.

Якщо, крім того, вводиться формальна система в офіційній мові, виникають певні синтаксичні поняття - а саме, аксіоми, правила умовиводу та теореми. Деякі речення виділено як аксіоми. Це (основні) теореми. Кожне правило умовиводу є індуктивним реченням, в якому зазначається, що якщо певні речення є теоремами, то інше речення, пов’язане з ними відповідним чином, також є теоремою. Якщо p і "або не- p, або q " (∼ pq ), наприклад, є теоремами, то q є теоремою. Загалом, теорема є або аксіомою, або висновком правила висновку, передумови якого є теоремами.

У 1931 році Курт Гедель зробив фундаментальне відкриття, що в більшості цікавих (або значущих) формальних систем не всі справжні речення є теоремами. З цього висновку випливає, що семантику не можна звести до синтаксису; таким чином, синтаксис, який тісно пов'язаний з теорією доказів, часто слід відрізняти від семантики, яка тісно пов'язана з теорією моделей. Грубо кажучи, синтаксис - як він задуманий у філософії математики - є розділом теорії чисел, а семантика - розділом теорії множин, який займається природою та відношеннями сукупностей.

Історично, коли логічні та аксіоматичні системи ставали дедалі точнішими, у відповідь на прагнення до більшої ясності з'явилася тенденція приділяти більше уваги синтаксичним особливостям використовуваних мов, а не концентруватися виключно на інтуїтивних значеннях. Таким чином, логіка, аксіоматичний метод (такий, як метод геометрії) та семіотичний (загальна наука про знаки) сходились до металогічного.

Аксіоматичний метод

Найвідомішою аксіоматичною системою є система Евкліда для геометрії. Подібно до Евкліда, кожна наукова теорія включає сукупність значущих понять і колекцію правдивих або переконаних тверджень. Значення поняття часто можна пояснити або визначити з точки зору інших понять, і, аналогічним чином, істинність твердження або підставу для переконання у цьому зазвичай можна уточнити, вказавши, що воно може бути виведене з певних інших тверджень, які вже прийняті. Аксіоматичний метод протікає в послідовності етапів, починаючи з набору примітивних понять і положень, а потім визначаючи або виводячи з них усі інші поняття та положення в теорії.

Розуміння, що виникло в 19 столітті, що існують різні можливі геометрії, призвело до бажання відокремити абстрактну математику від просторової інтуїції; внаслідок цього в геометрії Евкліда було виявлено багато прихованих аксіом. Ці відкриття були організовані в більш сувору аксіоматичну систему Девідом Хілбертом у його Grundlagen der Geometrie (1899; Основи геометрії ). Однак у цій та суміжних системах логічні сполучники та їх властивості сприймаються як належне і залишаються неявними. Якщо прийнятою логікою вважати логіку числення предикатів, то логік може тоді дійти до таких формальних систем, як розглянута вище.

Гільберт, Девід

Отримавши такі формальні системи, можна перетворити певні семантичні проблеми на більш гострі синтаксичні проблеми. Наприклад, стверджувалося, що неевклідові геометрії повинні бути самоузгодженими системами, оскільки вони мають моделі (або інтерпретації) в евклідовій геометрії, яка, в свою чергу, має модель у теорії дійсних чисел. Потім можна запитати, як відомо, що теорія дійсних чисел є послідовною в тому сенсі, що в ній не може бути виведено жодного протиріччя. Очевидно, що моделювання може встановити лише відносну послідовність і десь має зупинитися. Однак, дійшовши до формальної системи (скажімо, дійсних чисел), проблема послідовності тоді має більш чіткий фокус синтаксичної проблеми:це розглянути всі можливі докази (як синтаксичні об’єкти) та запитати, чи коли-небудь із них колись (скажімо) 0 = 1 як останнє речення.

В якості іншого прикладу може бути досліджено питання про те, чи є система категоричною - тобто чи визначає вона по суті унікальну інтерпретацію в тому сенсі, що будь-які дві інтерпретації є ізоморфними. Це семантичне запитання може бути певною мірою замінено відповідним синтаксичним запитанням, питанням повноти: чи є в системі якесь речення, що має певне значення істини у передбачуваному тлумаченні, таке, що ні це речення, ні його заперечення не є теоремою. Незважаючи на те, що зараз відомо, що семантичні та синтаксичні поняття різні, нечітка вимога про те, щоб система була “адекватною”, пояснюється обома поняттями. Вивчення таких гострих синтаксичних питань, як питання послідовності та повноти, що було підкреслено Гільбертом, було названо ним приблизно в 1920 р. «Метаматематикою» (або «теорією доказів»).